تجزیه عبارات جبری درجه دوم هم آسان شد!

بدون تردید تجزیه عبارات جبری درجه دوم که عموما"به شکل ax²+bx+c    نوشته میشوند یکی از مهمترین مهارتهایی است که دانش آموزان دبیرستانی در مقدمات جبر می آموزند و این مهارت کاربرد بسیار وسیعی در قسمتهای مختلف دروس ریاضی دارد.

هر کس به دانش آموزان مقطع پایین دبیرستان تجزیه ی عبارات فوق را درس داده باشد بخوبی میداند که یک دانش آموز در کجای این درس مشکل دارد. مشکل دقیقا" در آنجاست که دانش آموز باید در ذهن خود دو عدد پیدا کند که مجموع و حاصلضرب آنها داده شده است. مثلا" دانش آموز باید دو عدد پیدا کند که مجموع آنها S=7  و حاصلضرب آنها P=12  باشد.(حرف S مخفف Sum  و حرف P مخفف Product است)

بدیهی است در اینجا اعداد مورد نظر 3 و 4 هستند. ولی اگر  S و P  کمی بزرگ باشند، مثلا" دو رقمی و یا حتا سه رقمی و بیشتر باشند، مضافا" آنکه یکی از آنها یا هر دو منفی نیز باشند آنگاه مسئله برای دانش آموز سخت تر میشود و زمان زیادتری لازم است تا او بتواند اعداد مورد نظر را پیدا کند. مثلا" من دانش آموزان زیادی را دیده ام که برای پیدا کردن دو عدد که مجموع آنهـــا S=10 و حاصلضربشان P=-11 باشــــد مدتی بیش از یکدقیقه وقت خواسته اند و در موارد مشکل تر مثل اینکه دو عدد پیدا کنید که مجموع شان S=2  و حاصلضرب شان P=-192 باشد، حتا در زمانی بیش از آن نیز نتوانسته اند جواب را پیدا کنند. در اینگونه موارد دانش آموز ممکن است امیدش را از دست بدهد و مایوس شود. در اینصورت دیگر نمیتوان از او انتظار داشت که به کوشش ادامه دهد. یک آموزگار خوب باید مواظب دانش آموزانش باشد و مطلقا" نگذارد که چنین وضعی برای آنها پیش آید.

اجازه دهید مطلب را با یک مثال ساده دنبال کنم:

مثال یک. عبارت 3x²+7x+4 را تجزیه کنید.

حل. روش کلاسیک حل این مسئله این است که ابتدا دو عدد پیدا کنیم که مجموع شان 7 و حاصلضرب شان 12 باشد. این دو عدد 3 و 4 هستند. مرحله بعد این است که ترم خطی عبارت را بشکنیم بطوریکه عبارت دارای چهار ترم شود و بالاخره با استفاده از روش دسته بندی یا"فاکتور گیری گروهی" عبارت را تجزیه کنیم.

                                                                                                                                                                                               

یک روش دیگری هم در اینجا معمول است (که نمیدانم آیا در ایران آنرا تدریس میکنند یا نه) و روش ساده و مناسبی است. در حقیقت باید بگویم که گروه زیادی از دانش آموزانی که از توانایی کمتری در ریاضیات برخوردار هستند، بیشتر تمایل به یاد گرفتن این روش نشان میدهند زیرا یک مرحله کوتاه تر از روش فوق است و در آن نیازی به دسته بندی کردن ترم ها نیست. در این روش عبارت ax²+bx+c  را نخست به صورت یک کسر مینویسیم. مخرج کسر a است و صورت کسر مرکب از یک جفت پرانتز است که ترمهای اول آنها  ax  است. به این شکل:

                       

اینک باید دو عدد پیدا کنیم که مجموع آنها b  و حاصلضرب شان ac باشد. وقتیکه این دو عدد را پیدا کردیم( فرض کنیم باشند m و n ) آنها را در داخل پرانتزها و بعد از  ax ها میگذاریم، به این شکل:

                           

 و در پایان، مخرج کسر را با ضرایب موجود در یک پرانتز(یا اگر لازم باشد با ضرایب موجود در هر دو پرانتز)  ساده میکنیم تا مخرج کسر کاملا" ناپدید شود. مخرج کسر همواره ناپدید میشود.